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Definición formal
El término general de una sucesión \{\,x_n \}_{n\geq 1} tiene límite \,l, cuando \,n tiende a \infty, si para todo valor \,\varepsilon > 0 por pequeño que sea, existe un valor \,n_0 a partir del cual si \,n>n_0 tenemos que la distancia de \,l a \,x_n es menor que \,\varepsilon, es decir:
\forall \varepsilon > 0, \exists n_0>0 : \forall n>n_0, d(x_n,l)<\varepsilon.
Notación[editar]
\lim_{n\to\infty} x_n=l o bien x_n \xrightarrow[{\;\; n \to \infty\;\; }]{}l
o también
x_n\ \stackrel{d}{\longrightarrow}\ x \quad \mbox{cuando} \quad n \to \infty
o simplemente
x_n \to x.
Ejemplos
La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{ si } p > 0
\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1
\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{ si } a>0
El término general de una sucesión \{\,x_n \}_{n\geq 1} tiene límite \,l, cuando \,n tiende a \infty, si para todo valor \,\varepsilon > 0 por pequeño que sea, existe un valor \,n_0 a partir del cual si \,n>n_0 tenemos que la distancia de \,l a \,x_n es menor que \,\varepsilon, es decir:
\forall \varepsilon > 0, \exists n_0>0 : \forall n>n_0, d(x_n,l)<\varepsilon.
Notación[editar]
\lim_{n\to\infty} x_n=l o bien x_n \xrightarrow[{\;\; n \to \infty\;\; }]{}l
o también
x_n\ \stackrel{d}{\longrightarrow}\ x \quad \mbox{cuando} \quad n \to \infty
o simplemente
x_n \to x.
Ejemplos
La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{ si } p > 0
\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1
\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{ si } a>0